题目

矩阵的特征值与特征向量问题
这是一个考研题,答案一定没错.但我不理解.3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=-2,α1=（1,-1,1）T是A的对应特征值1的特征向量,B=A^5-4*A^3+E.后来要求求B的特征向量,当时直接利用Aαi=λiαi带入B式,后来得B特征值一个是ˉ2另两个都是1,但是若对应特征值1（2重根）的特征向量是有两个解系组合,这样就与原始带入的对应A的只有一个解系的特征向量就不一样了.但带入的时候明明就有Bα=(λ^5-4*λ＋1)α,不应该这式子中的就是特征向量么?为什么呢?
呵呵,你回答的太好的.你说的很正确,A是是对称阵,当时用手机发布的疑问,把这一点遗漏了.但是我有一个问题就是,如果“Bα=(λ^5-4*λ＋1)α式子中 特征值为(λ^5-4*λ＋1),对应的特征向量为a；而Aα=λα式子中特征值为λ,对应的特征向量为a.两式的特征向量一样,但对应的特征值不一样.”既然a一样,那样的话而“另外两个特征向量是A对应特征值±2的特征向量,也是B对应二重特征值为1的两个特征向量.”的意思就是A另外两个特征向量对应B的二重根的特征向量的两个解系,而给出的答案中B的这个对应的是β2=a2=(1,0,-1)t,β3=a3=(1,1,0),当然这里的β指的是特征向量的解系.但是这两个虽然符合B的重根不相关却不符合A的不同特征值之间的正交性了.是我那儿想错了,还是……

提问时间：2020-10-19

答案

如果A是实对称矩阵就好做了,这样可以通过不同特征值对应的特征向量正交求出另外两个特征向量（一定可以求出两个,因为A是实对称矩阵）.但这里有个问题,求出的这两个特征向量怎么对应A的两个特征值呢（有两种情况）,由于缺乏条件不能断定.然而本题的特殊性就在于,这两个特征向量刚好对应B的二重特征值,这就解决了对应的问题.因此a1即是对应λ=1,A的特征向量,又是对应λ=-2,B的特征向量.而另外两个特征向量是A对应特征值±2的特征向量,也是B对应二重特征值为1的两个特征向量.
补充：Bα=(λ^5-4*λ＋1)α式子中 特征值为(λ^5-4*λ＋1),对应的特征向量为a；而Aα=λα式子中特征值为λ,对应的特征向量为a.两式的特征向量一样,但对应的特征值不一样.
对问题补充的回答：你想的很好.结论的确是我说的那样,书上也是那么说的,如果与答案不符合,要想过答案是否有误.你也可以带着这样的问题请教你们老师.
再次补充：你解出两个不正因为交的特征向量（a2,a3）是因为你默认另外两个特征值相等了.正确的做法是从解出的两个特征向量里再选一个（a2）,加上之前那个特征向量（a1）与第三个特征向量y(再假设第三个特征值的特征向量为y)都正交,这才解出第三个特征值的特征向量.我估计通过这样解出的另外两个特征向量（a2,y）等于直接把第一次解出的两个特征向量（a2,a3）正交化.
这样只需把那两个向量正交化一下就可以了