题目

已知a为常数，函数f（x）=a（x-1）（x-a）．
（1）若f（x）＞-a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围；
（2）解不等式f（x）＞x-1．

提问时间：2020-10-19

答案

（1）f（x）＞-a对一切x属于R恒成立，即f（x）+a＞0对一切x属于R恒成立，即a（x-1）（x-a）+a＞0对一切x属于R恒成立，即a[x²-（a+1）x+a+1]＞0，
分别讨论：
1）当a=0时，左边=0，不等式不成立，a∈∅；
2）当a＞0时，两边同除以a，得x²-（a+1）x+a+1＞0，
因y=x²-（a+1）x+a+1为开口向上的抛物线，因对一切x属于R不等式x²-（a+1）x+a+1＞0恒成立，
故x²-（a+1）x+a+1=0无解，其判别式（a+1）²-4（a+1）＜0，
即（a+1）（a+1-4）=（a+1）（a-3）＜0，
解得0＜a＜3；
3）当a＜0时，两边同除以a，得x²-（a+1）x+a+1＜0，
因y=x²-（a+1）x+a+1为开口向上的抛物线，
不论a取什么值，都不可能使x²-（a+1）x+a+1＜0恒成立，故此时a无解；
综上所述，只有当0＜a＜3时，f（x）＞-a对一切x属于R恒成立．
（2）不等式f（x）＞x-1，即a（x-1）（x-a）-（x-1）＞0，即（x-1）[a（x-a）-1]＞0，
解得x-1＞0且a（x-a）-1＞0 或x-1＜0且a（x-a）-1＜0，
①当a=0时，解得x＜1；
②当a＜0时，a（x-a）-1＞0⇔x＜a+

1

a

≤-2，
∴x-1＞0且a（x-a）-1＞0⇒x∈∅，x-1＜0且a（x-a）-1＜0⇔x＜-2；
∴当a＜0时，x＜-2；
③当a＞0时，a（x-a）-1＞0⇔x＞a+

1

a

≥2，
∴x-1＞0且a（x-a）-1＞0⇔x＞2，x-1＜0且a（x-a）-1＜0⇔x＜1；
∴x＞2或x＜1．
综上所述，当a＜0时，不等式f（x）＞x-1的解集为{x|x＜-2}；
当a=0时，不等式f（x）＞x-1的解集为{x|x＜1}；
当a＞0时，不等式f（x）＞x-1的解集为{x|x＜1或x＞2}；