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题目
已知a为常数,函数f(x)=a(x-1)(x-a).
(1)若f(x)>-a对一切x∈R恒成立,求a的取值范围;
(2)解不等式f(x)>x-1.

提问时间:2020-10-19

答案
(1)f(x)>-a对一切x属于R恒成立,即f(x)+a>0对一切x属于R恒成立,即a(x-1)(x-a)+a>0对一切x属于R恒成立,即a[x2-(a+1)x+a+1]>0,
分别讨论:
1)当a=0时,左边=0,不等式不成立,a∈∅;
2)当a>0时,两边同除以a,得x2-(a+1)x+a+1>0,
因y=x2-(a+1)x+a+1为开口向上的抛物线,因对一切x属于R不等式x2-(a+1)x+a+1>0恒成立,
故x2-(a+1)x+a+1=0无解,其判别式(a+1)2-4(a+1)<0,
即(a+1)(a+1-4)=(a+1)(a-3)<0,
解得0<a<3;
3)当a<0时,两边同除以a,得x2-(a+1)x+a+1<0,
因y=x2-(a+1)x+a+1为开口向上的抛物线,
不论a取什么值,都不可能使x2-(a+1)x+a+1<0恒成立,故此时a无解;
综上所述,只有当0<a<3时,f(x)>-a对一切x属于R恒成立.
(2)不等式f(x)>x-1,即a(x-1)(x-a)-(x-1)>0,即(x-1)[a(x-a)-1]>0,
解得x-1>0且a(x-a)-1>0 或x-1<0且a(x-a)-1<0,
①当a=0时,解得x<1;
②当a<0时,a(x-a)-1>0⇔x<a+
1
a
≤-2,
∴x-1>0且a(x-a)-1>0⇒x∈∅,x-1<0且a(x-a)-1<0⇔x<-2;
∴当a<0时,x<-2;
③当a>0时,a(x-a)-1>0⇔x>a+
1
a
≥2,
∴x-1>0且a(x-a)-1>0⇔x>2,x-1<0且a(x-a)-1<0⇔x<1;
∴x>2或x<1.
综上所述,当a<0时,不等式f(x)>x-1的解集为{x|x<-2};
当a=0时,不等式f(x)>x-1的解集为{x|x<1};
当a>0时,不等式f(x)>x-1的解集为{x|x<1或x>2};
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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