题目

有关函数周期的两道题目
1.函数y=3sin(2x+π/3)的所有的对称中心的坐标是_____,所有的对称轴的方程是______.(具体说明)
2.设f(x)是定义在区间(-∝,+∝)上的函数,对任意的x∈R,满足f(1-x)=f(x+1)=f(x-3),用Ik表示区间[2k-1,2k+1](k∈Z),已知x∈Io时,f(x)=x,求f(x)在区间(-∝,+∝)上的表达式.(具体过程)

提问时间：2020-10-19

答案

1.令2x+π/3=kπ,则x=(3k-1)π/6.对称中心的坐标是((3k-1)π/6,0) k是整数.
令2x+π/3=(2k + 1/2)π或（2k - 1/2)π,则x=(12k+1)π/12或（12k-5)π/12.
对称轴的方程是((12k+1)π/12,1)或（（12k-5)π/12,-1）k是整数.
2.由f(1-x)=f(x+1)可知f(x)以x=1为对称轴,
由f(x+1)=f(x-3)可得f(x)=f(x+4),即f(x)以4为周期.
x∈Io=[-1,1],f(x)=x,由上易得x∈[1,3]时,f(x)=-x+2.
[-1,3]的区间长度为4,恰与函数周期相等.在其他[-1+4k,3+4k](k为整数）中,函数图像即可通过[-1,3]上的图像进行平移.经分析可得,
当x∈[-1+4k,1+4k],f(x)=x-4k
当x∈[1+4k,3+4k],f(x)=-x+2+4k.
k为整数.