题目

如图,对称轴为直线x=3的抛物线y=ax平方+2x与x轴交于点B、O
（1）求抛物线的解析式,并求出点A的坐标
（2）连结AB,把AB所在的直线平移,使它经过原点O,得到直线l,点P是l上一动点,设以A、B、O、P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当9＜S≤18时,求t的取值范围
（3）在(2)的条件下,当t取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使△OPQ以为OP为直角边的直角三角形：若存在,直接写出点Q的坐标：若不存在,说明理由

提问时间：2020-10-19

答案

1.∵y=ax²+2x的对称轴是直线x=3,
∴-2/2a=3 a= -1/3
∴y=-1/3x²+2x
当x=3时
y=-1/3*3²+2*3=3
∴A（3,3）
2. 令对称轴与x轴交于D ∴D（3,0） 由抛物线的对称性可知：B（6,0）
设直线AB的函数解析式是y2=kx+b2 ∵图像过B（6,0） A（3,3）
由待定系数法可得：
……
y2= -x+6
∵AB‖直线l 且直线l过原点O
∴l的解析式：y3=-x
令直线l与对称轴交于E
∴∠BOE=45°
过B作BF⊥直线l于F
在Rt△BOF中,
sin∠BOF=BF/OB=√2/2
又OB=6 ∴BF=3√2
∵0＜S≤18
∴当s=18时,即： OP*BF=18
所以OP=3√2
易得：-3≤t≤3且t≠0
（3）t的最大值：3
∴P（3,-3）
①过O作OQ1⊥OP交抛物线于Q
连接OA
∵OD=BD=DA=3
所以∠OAB=90°
∵AB‖直线l
∴可得：∠AOP=90°
所以此时A与Q1重合
∴Q1（3,3）
②同理：连接BP
可证：Q2与B重合：即,Q2（6,0）
设BP的函数解析式为y4=k2x+b3（k2≠0）
可得：y4=x-6 ①
y=-1/3x²+2x ②
把①代入②：x1=-3 y1=-9
X2=6 y2=0
∵Q2（6,0）
∴Q3（-3,-9）
综上所述,存在点Q 点Q坐标为：（3,3）（6,0）或（-3,-9）