题目

三角函数的n阶导数 设y=(sinx)^4+(cosx)^4,求y^(n) 意思是求n阶导
y=((sinx)^2+(cosx)^2)^2-((2(sinx)^2)(cosx)^2)=1-1/2(sin2x)^2=3/4+1/4(cos4x),
y的n阶导=(3/4+1/4(cos4x))^(n)=1/4*(4^n) cos(4x+npia/2)=4^(n-1)cos(4x+npia/2)
问题在y的n阶导这一行.这一式子看不懂.尤其是从上一步到这一步.本人基础不好.越详细越好,

提问时间：2020-10-19

答案

关键是cosx的n阶导数
cos'x=-sinx=cos(π/2+x)
cos''x=-cosx=cos(π+x)
cos'''x=sinx=cos(3π/2+x)
cosx的4阶导数=cosx=cos(2π+x)
因此cosx的n阶导数=cos(4x+nπ/2)
(3/4+1/4(cos4x)的n阶导=1/4(cos4x)的n阶导=4^(n-1)cos(4x+nπ/2)