题目

设x,y,满足约束条件x+y-2≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,若目标函数z=a/x+b/y的最大值为10,则5a+4b的最小值为

提问时间：2020-10-19

答案

首先明确一点 a,b应该都是大于0的,否则5/a+4/b最小值或者不存在或者无法求取——不知道是你漏说了还是题目漏给了.
以下为解题步骤：
我们首先获得x+y-2=3,x-y=-1,2x-y=3这三条直线,在坐标图上画出这三条直线（这个你应该会吧）,根据题目x+y-2≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,我们知道x,y的取值范围在坐标图上就是一个三角形ABC,其端点分别为A(2,3),B(8/3,7/3),C(4,5)
然后再看z=a/x+b/y,由于x,y,a,b都是正数,则直线a/x+b/y-z=0的斜率肯定是负的.那么在图上任意画一条斜率小于0且经过三角形ABC的直线,纵截距为bz.从图上我们可以很直接的看出,当直线平行上移时,纵截距变大.要使z=a/x+b/y取到最大值10即纵截距最大为10b,则直线a/x+b/y-z=0必须经过C点,即x=4,y=5.
代入z=a/x+b/y得
10=4/a+5/b
两边都乘以ab得
10ab=5a+4b
又10ab=5a+4b≥2*√（5a）*√（4b）=2√（20ab）
化简得ab≥4/5
则5a+4b=10ab≥8,当且仅当a=4/5,b=1取“=”,所以5a+4b的最小值为8,
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说明：1、10=4a+5b≥2*√（4a）*√（5b）=2√（20ab）（注：当a,b都大于0时,有公式a+b≥2√a√b）
2、这道题主要考察的是对二元一次不等式与平面坐标图的对应关系的熟悉程度,事实上如果单纯从不等式的角度去解这道题是很麻烦很难的,但是如果把不等式看成是直线,在平面坐标图上画出来,就会一目了然.
以上,希望对你有所帮助!