题目

设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线ι的方程为______．

提问时间：2020-10-19

答案

抛物线的方程为y²=4x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁≠x₂，

y 2 1 ＝4x1 y 2 2 ＝4x2

两式相减得，y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），
∴

y1−y2

x1−x2

＝

4

y1+y2

＝1
∴直线l的方程为y-2=x-2，即y=x
故答案为：y=x

设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而利用点斜式求得直线的方程．

本题考点：抛物线的简单性质；直线的一般式方程．

考点点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．