题目

若原点到直线bx+ay=ab的距离等于

1

3

a2+b2

+1，则双曲线

x2

a2

−

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6

提问时间：2020-10-19

答案

∵c²=a²+b²
∴原点到直线bx+ay=ab的距离等于

c

3

+1
依题意可知

ab

a2+b2

=-

ab

c

=

c

3

+1
∴-ab=

1

3

c²+c
∵-ab≤

a2+b2

2

=

c2

2

∴

1

3

c²+c≤

c2

2

，解得c≥6或c≤0（舍去）
∴双曲线

x2

a2

−

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值为6．
故选D．

先根据点到直线的距离求得知知

ab

a2+b2

=-

ab

c

=

c

3

+1，进而根据均值不等式的性质求得-ab≤

a2+b2

2

=

c2

2

求得c的范围．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得a，b和c的关系．