题目

直线y＝

2

2

x与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1，a＞b＞0的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（　　）
A.

3

2

B.

2

2

C.

3

3

D.

1

2

提问时间：2020-10-19

答案

由题意及椭圆的对称性可设两个交点分别为M(c，

2

2

c)，N(−c，−

2

2

c)．
把M代入椭圆方程得

c2

a2

+

1 2 c2

b2

＝1，又b²=a²-c²，
化为2c⁴-5a²c²+2a⁴=0，
∴2e⁴-5e²+2=0，
∴（2e²-1）（e²-2）=0，
∵0＜e＜1，∴2e²-1=0，解得e＝

2

2

．
故选B．

由题意及椭圆的对称性可设两个交点分别为M(c，

2

2

c)，N(−c，−

2

2

c)．把M代入椭圆方程得

c2

a2

+

1 2 c2

b2

＝1，又b²=a²-c²，即可得到关于a，c的方程，再利用离心率0＜e＝

c

a

＜1即可得出．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：熟练掌握椭圆的对称性、直线与椭圆相交问题的转化、离心率计算公式是解题的关键．