题目

已知椭圆x^2+y^2/b^2=1的左焦点为F,左,右顶点分别为A,C,上顶点为B,过点F,B,C作圆P,其中圆心P的坐标为(m,n)(1)当m+n＞0时,求椭圆离心率的范围(2)直线AB与圆P能否相切?证明你的结论

提问时间：2020-10-19

答案

设F、B、C的坐标分别为（－c,0）,（0,b）,（1,0）,则FC、BC的中垂线分别为
x=(1-c)/2,y-(b/2)=(x-1/2)/b
联立方程组,解出x=(1-c)/2,y=(b²-c)/2b
m+n=(1-c)/2+(b²-c)/2b>0,即b-bc+b²-c>0,即（1＋b）（b－c）>0,
∴ b>c．
从而b²>c²即有a²>2c²,∴e²0,∴0＜e＜√2/2．
（2）直线AB与⊙P不能相切．
由kAB=b,kPB=[b-(b²-c)/2b]/[0-(1-c)/2]=(b²+c)/b(c-1)．
如果直线AB与⊙P相切,则b(b²+c)/b(c-1)＝－1．
解出c＝0或2,与0＜c＜1矛盾,
所以直线AB与⊙P不能相切．
不懂追问