题目

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，
若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=

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∠A．请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=

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∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

提问时间：2020-10-19

答案

（1）如：平行四边形、等腰梯形等．
（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°，
∴∠A=∠BOD，
猜想：四边形DBCE是等对边四边形；
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
证法一：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∵∠DCB=∠EBC=

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∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD=CE
∴四边形DBCE是等对边四边形．
证法二：如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．
∵∠DCB=∠EBC=

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∠A，BC为公共边，
∴在△BDC与△CFB中，

∠DBC=∠FCB BC=CB ∠DCB=∠EBC

∴△BDC≌△CFB（ASA），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∴∠ADC=∠CFE，
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠FEC=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BD=CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形．
说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立．

（1）本题理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是．
（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；
（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD=CE．所以四边形DBCE是等边四边形．

本题考点：等腰梯形的性质．

考点点评：解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题．