题目

证明,任意7个整数中必存在4个数,他们的和能整除4
理论

提问时间：2020-10-18

答案

(1)设有7个整数,它们是0,1,2,3中的任意数,这7个整数可以任意重复,我们可以证明,这7个整数中必存在4个数,他们的和能整除4.
证明如下：
显然这7个整数中,可以有7个数,6个数,5个数,或4个数重复,这些情况下,其中的4个重复数的和当然能整除4.
如果这7个整数中,有最多3个数重复,我们将所有可能的情况都列举出来,发现一定能有四个数,他们的和能整除4.
如果这7个整数中,有最多2个数重复,我们也将所有可能的情况都列举出来,发现一定能有四个数,他们的和能整除4.
这样我们就证明了：如果7个整数,它们是0,1,2,3中的任意数,这7个整数可以任意重复,那么这7个整数中必存在4个数,他们的和能整除4.
(2)显然任意整数,一定可以写成4k,4m+1,4n+2,4p+3中的一个（其中k,m,n,p为任意整数）,因此：
任意4个整数的和=一个4的倍数 + 在0,1,2,3中4个整数的和
又因为有了（1）的结论,
所以任意7个整数中必存在4个数,他们的和能整除4.