题目

关于双曲线的一个参数方程
如果把双曲线标准方程x^2/a^2 - y^2/b^2=1 X,Y∈R
写成参数形式
X=aCOSz
Y=ibSINz
其中z为参数 i为虚数单位
那么代入到原标准方程是成立的
但是
原方程中Y为实数
而参数方程中Y为虚数
而且将参数方程在复平面中表示出来又是椭圆
这一切怎么解释
我给的参数方程有没有意义

提问时间：2020-10-18

答案

首先,参数方程的参数代表意义你要搞清楚,你给出的双曲线参数方程中的参数Z是否有什么意义,一般来说参数方程可以用任意参数来表达但这个参数是否有几何或则代数上的意义就很难说了,比如你给出的；
其次,参数方程中的参数是由因变量决定的,对于你的问题也就是说,Z是由xy决定的,而不是xy由Z决定的,比如先x=a,y=0你要从参数方程中求出满足条件的Z,而不是说Z是实数,那么y就是虚数了；
第三,参数方程是有关联的,比如X=aCOSz、Y=ibSINz,那么cosZ=X/a、sinZ=Y/(ib)你能找到相应的Z的值使得正弦为实数,余弦为虚数?当然你学过复变函数又当别论,但这就不是高中的知识了,一般双曲线的参数方程可以用x=asect,y=btant或者x=acosht,y=bsinht表示(焦点在x轴上)；
最后,复平面上的点和复数是有点区别的,(acosZ,ibsinZ)如果Z为实数的话,不是复平面上的点,与复数acosZ+ibsinZ是不同.