题目

一个五位数,前三位是一个完全平方数,后两位数字相同,且该五位数能被99整除,这样的五位数是多少?

提问时间：2020-10-18

答案

前面三位数是个完全平方数,那么设它为x^2,后面两个都相同,设为10a+a=11a.
这个数表示为A：A=100x^2+11a
此数可被99整除,必然能被11整除,11a已经可被11整除了,所以100x^2也能被11整除,即x^2也能被11整除,设x^2=(11b)^2=121b^2
A=100*121b^2+11a
121b^2是个三位数,所以b只能是1和2.
如果b=1,A=100*121+11a=12100+11a
因为A可被99整除,故也可被9整除,能被9整除的特点是各位数之和也能被9整除.那么A的各位数之和是：1+2+1+a+a=4+2a
4+2a不可能为9,那么只能是18了.a=7,所以这个数可以是12177
如果b=2,A=121*400+11a=48400+11a
各位数之和是：4+8+4+a+a=16+2a
最大为34,但却不能是27,因为这是个偶数,所以只能是18,此时a=1
A=48411
那么,可能是12177和48411