题目

已知圆M：x2＋y2－4x=0及一条抛物线,抛物线顶点在原点,焦点是M的圆心F,
过F作倾斜角为α的直线l,l与抛物线及圆自上而下交于A、B、C、D四点,α为何值时,AB+CD 有最小值?并求出这个最小值.

提问时间：2020-10-18

答案

本题考查的知识点比较多,解答步骤如下：
根据图像所求表达式设为s,则有：
s=AD-BC,其中AD为抛物线的焦点弦,其长设为m,BC为圆的弦,其长设为n.
所以：s=m-n
根据题意,直线l的斜率为tana记为k,经过圆心（2,0）,所以其方程为：
y=k(x-2),代入圆的方程消去y,求出x可得到直线与圆的两个交点B、C的横坐标依次为：x1=2+2/√(k^2+1),x2=2-2/√(k^2+1).
根据圆的弦长公式可得到：
n=√(1+k^2)*|x1-x2|,代入x1,x2,得到：
=√(1+k^2)*4/√(k^2+1)
=4,
有关圆的弦长的计算推理请参考：
根据抛物线的焦点弦长计算公式,可得到：
m=2p/(sin^2a)
=8/[(1-cos2a)/2]
=16/(1-cos2a)
有关焦点弦长的推理公式,请参考：
所以：
s=m-n=16/(1-cos2a)-4
所以当a=90度时,s有最小值,
smin=16/2 -4=4.