题目
证明如果一个正交矩阵是正定矩阵,那么它必为单位矩阵
提问时间:2020-10-18
答案
要意识到正交矩阵的特征根是1或-1
然后矩阵正定,特征值全为1.
Ax=ax,a为特征值,x为特征向量,则两边做转置x'A'=ax'.于是有x'A'Ax=ax'ax
由于A正交,左边为x'x,而右边为aax'x,所以a方=1,特征根是1或-1.
由于A对称正定,故存在正交矩阵B,B'AB为上三角形(其实由A正交可进一步知,是对角形,只需考虑AA'=A'A即得),对角线上为特征值,可见正定的充要条件是特征值皆为正数,本题都为1.
所以A正交相似于单位阵,即上边的B'AB=E.所以A=BB'=E(注意B正交).
然后矩阵正定,特征值全为1.
Ax=ax,a为特征值,x为特征向量,则两边做转置x'A'=ax'.于是有x'A'Ax=ax'ax
由于A正交,左边为x'x,而右边为aax'x,所以a方=1,特征根是1或-1.
由于A对称正定,故存在正交矩阵B,B'AB为上三角形(其实由A正交可进一步知,是对角形,只需考虑AA'=A'A即得),对角线上为特征值,可见正定的充要条件是特征值皆为正数,本题都为1.
所以A正交相似于单位阵,即上边的B'AB=E.所以A=BB'=E(注意B正交).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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