题目

将函数y＝

−x2+2x+3

−

3

（x∈[0，2]）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为______．

提问时间：2020-10-18

答案

设f（x）=−x2+2x+3−3，根据二次函数的单调性，可得函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．设函数在 x=0 处，切线斜率为k，则k=f'（0）∵f'（x）=12•(−x2 +2x)′−x2+2x+3=−x  +1−x2+2x+...

根据二次函数的单调性，可得函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．利用求导公式和导数的运算法则，可得函数的导数为f'（x）=−x  +1−x2+2x+3，再设函数在 x=0 处，函数图象的切线斜率为k，则k=f'（0）=33=tan30°，可得切线的倾斜角为 30°．因此，可得要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，最大旋转角为 90°-30°=60°．

本题考点：函数的图象与图象变化．

考点点评：本题给出二次式作为被开方数的一个函数，将函数图象绕原点逆时针旋转θ后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角θ的最大值，着重考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点，属于中档题．