题目

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值；
（2）若f（x）在[-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f（x1）-f（x2）|≤4,求实数a的取值范围．

提问时间：2020-10-18

答案

(1)f(x)图形为抛物线,且对称轴为x=a,则(-∞,a]区间为单调递减
定义域为[1,a]时,x=1对应最大值f(1)=1-2a+5=6-2a
x=a对应最小值f(a)=a²-2a²+5=5-a²
由题意值域也是[1,a]
则5-a²=1且6-2a=a
则解得a=2
(2)f(x)在给定区间为减函数,结合(1)可知a≥2
在区间[1,a+1]内,x=a时取得最小值
若a≥2,则a-1≥1则x=1距离x=a更远,则[1,a+1]区间内最大值为x=1时取得
则|f（x1）-f（x2）|≤f(1)-f(a)
只要f(1)-f(a)≤4可保证任意x1,x2均使|f（x1）-f（x2）|≤4成立
f(1)=6-2a,f(a)=5-a²
则要求(6-2a)-(5-a²)≤4
解得-1≤a≤3
又a≥2
则a的范围是:2≤a≤3