题目

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

提问时间：2020-10-18

答案

（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b
∴由题

c＝1 2ax+a+b＝2x

恒成立
∴

2a＝2 a+b＝0 c＝1

 得 

a＝1 b＝−1 c＝1

∴f（x）=x²-x+1
（2）f（x）=x²-x+1=(x−

1

2

)2+

3

4

在[-1，

1

2

]单调递减，在[

1

2

，1]单调递增
∴f(x)min＝f(

1

2

)＝

3

4

，f（x）_max=f（-1）=3

（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．
（2）对函数进行配方，结合二次函数在[-1，1]上的单调性可分别求解函数的最值．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

考点点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．