题目

如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上

（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（-2，-2），求：点B的坐标；
（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①

CO-AF

OB

为定值；②

CO+AF

OB

为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．

提问时间：2020-10-18

答案

（1）过点B作BD⊥OD，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DAC，
在△ADC和△COB中，

∠ADC=∠BOC=90° ∠DAC=∠BCD AC=BC

，
∴△ADC≌△COB（AAS），
∴AD=OC，CD=OB，
∴点B坐标为（0，4）；
（2）延长BC，AE交于点F，

∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°，
在△ACF和△BCD中，

∠DAE=∠COD BC=AC ∠BCD=∠ACF=90°

，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
在△ABE和△FBE中，

∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB

，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD=2AE；
（3）作AE⊥OC，则AF=OE，

∵∠CBO+∠OBC=90°，∠OBC+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
在△BCO和△ACE中，

∠BOC=∠AEC=90° ∠ACO=∠CBO AC=BC

，
∴△BCO≌△ACE（AAS），
∴CE=OB，
∴OB+AF=OC．
∴

CO-AF

OB

=1．

（1）过点A作AD⊥OC，可证△ADC≌△COB，根据全等三角形对应边相等即可解题；
（2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，可证△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE；
（3）作AE⊥OC，则AF=OE，可证△BCO≌△ACE，可得AF+OB=OC，即可解题．

本题考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的、对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并证明其全等是解题的关键．