题目

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB＞AD，DC=BC．
求证：∠B+∠D=180°．

提问时间：2020-10-18

答案

证明：如图，在AB上截取AD=AF，连接FC．
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
在△ADC与△AFC中，

AD=AF ∠1=∠2 AC=AC

，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴∠D=∠4，CD=CF．
又∵DC=BC，
∴FC=BC，
∴∠3=∠B，
∴∠B+∠D=∠3+∠4=180°，即∠B+∠D=180°．

如图，在AB上截取AD=AF，连接FC，构建全等三角形：△ADC≌△AFC，则∠D=∠4，CD=CF；然后结合已知条件DC=BC得到CF=BC，则∠3=∠B，故∠D+∠D=∠3+∠4=180°．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．