题目

已知函数f(x)＝

−x2+2x， x≤0 ln(x+1)， x＞0

，若|f（x）|≥ax-1恒成立，则a的取值范围是（　　）
A. [-2，0]
B. [-2，1]
C. [-4，0]
D. [-4，1]

提问时间：2020-10-18

答案

当x＞0时，ln（x+1）＞0恒成立 则此时a≤0
当x≤0时，-x²+2x的取值为（-∞，0]，
|f（x）|=x²-2x
x²-2x≥ax-1（x≤0）
x=0时，左边＞右边，a取任意值都成立．
x＜0时，有a≥x+

1

x

-2 即a≥-4
综上，a的取值为[-4，0]．
故选C．

分x的范围进行讨论，当x＞0时，|f（x）|恒大于0，只要a≤0不等式|f（x）|≥ax-1恒成立；x=0时对于任意实数a不等式|f（x）|≥ax-1恒成立；x＜0时，把不等式|f（x）|≥ax-1取绝对值整理后分离参数a，然后利用基本不等式求解a的范围，最后取交集即可得到答案．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了参数分离法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中高档题．