题目

如何证明调和级数是发散的?
好象用对数证明?请写出过程,

提问时间：2020-10-18

答案

太复杂了,一大堆文字...有时间写下来,
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Euler 1734年的推导过程——
从log(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + .出发,于是
1/x = log[(x + 1)/x] + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + .
代入x = 1,2,3,4...n,就给出
1/1 = log(2/1) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...,
1/2 = log(3/2) + 1/(2*4) - 1/(3*8) + 1/(4*16) -...
.
1/n = log[(n+1)/n] + 1/(2*n^2) - 1/(3*n^3) + 1/(4*n^4) -...
相加,并注意到每一个对数项都是两个队输之差,就得到
Sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .+ 1/n
= log(n+1) + 1/2*(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...+ 1/n^2)
- 1/3*(1 + 1/8 + 1/27 + ...+ 1/n^3)
+ 1/4*(1 + 1/16 + 1/81 + ...+ 1/n^4)
.
将上面式子简化为
Sn = log(n+1) + C
其中 C 就是著名的欧拉常数,大约为0.577218
至此可以看出,Sn 在 n 趋近于无穷的时候数值将单调增长,没有边界（无穷大）.级数发散.