题目

实数a=?时,x的方程2x^2+3ax+a^2-a=0至少有一个模为1的根?

提问时间：2020-10-18

答案

2x²+3ax+a²-a=0
若方程有实根,
则实根中有一个根为1或-1
将x=1代入方程,得2+3a+a²-a=0,即a²+2a+2=0,a无实根
将x=-1代入方程,得2-3a+a²-a=0,即a²-4a+2=0,得a=2±√2
若方程有共轭复数根,则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ-isinθ
Δ=9a²-8(a²-a)=a(a+8)＜0,得-8＜a＜0
由韦达定理,
有
cosθ+isinθ+cosθ-isinθ=2cosθ=-3a/2,
得cosθ=-3a/4
(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=cos²θ+sin²θ=1=(a²-a)/2,
即(a+1)(a-2)=0,
a=-1时,cosθ=3/4∈[-1,1]
;a=2不在-8＜a＜0的范围内,舍去
a=-1
a=2±√2或-1
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