题目

已知，在四边形ABCD中．∠A=∠C=90゜．

（1）求证：∠ABC+∠ADC=180゜；
（2）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，写出DE与BF的位置关系，并证明；
（3）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．

提问时间：2020-10-18

答案

证明：（1）∵∠A=∠C=90゜，
∴在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180゜；
（2）DE⊥BF．
延长DE交BF于G，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，
∴∠CDE=

1

2

∠ADC，∠EBF=

1

2

∠CBM，
∴∠CDE=∠EBF．
∵∠DEC=∠BEG，
∴∠EGB=∠C=90゜，
∴DE⊥BF．
（3）DE∥BF，
连接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠NDC+∠MBC=180゜，
∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠EDC+∠CBF=90゜，
∴∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，
∴DE∥BF．