题目

如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=

2

2

．

（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：CF⊥平面ABF；
（3）当AD=

2

3

时，求三棱锥F-DEG的体积V_F-DEG．

提问时间：2020-10-18

答案

（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴

AD

DB

＝

AE

EC

，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，
∴DE∥BC．
又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且BF＝CF＝

1

2

．
∵在三棱锥A-BCF中，BC＝

2

2

，∴BC²=BF²+CF²，∴CF⊥BF②．
又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴VF−DEG＝VE−DFG＝

1

3

•

1

2

•DG•FG•GE=

1

3

•

1

2

•

1

3

•(

1

3

•

3

2

)•

1

3

＝

3

324

．

（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得

AD

DB

＝

AE

EC

，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．
（2）由条件证得AF⊥CF ①，且BF＝CF＝

1

2

．在三棱锥A-BCF中，由BC＝

2

2

，可得BC²=BF²+CF²，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 VF−DEG＝VE−DFG＝

1

3

•

1

2

•DG•FG•GE，运算求得结果．

本题考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．