题目
已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC＝
| 4 |
| 3 |
提问时间：2020-10-18
答案
（1）∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵直线MN是梯形的对称轴，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC2=PE•PF；
（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC＝tan∠DCB＝
，
∴EG＝
y，GC＝
y．
由题意有EG∥MN，
∴
＝
，即
＝
，
∴y=
（0＜x≤3）；
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=
，
∴
＝
，
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH＝EH＝
．
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=
=
•
，
又∵
＝
，
∴x＝
∴∠ABC=∠DCB，
∵直线MN是梯形的对称轴，
∴PB=PC．
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB∥CF
∴∠ABP=∠F
∴∠F=∠DCP．
∵∠EPC=∠FPC，
∴△PEC∽△PCF，
∴PC2=PE•PF；
（2）过点E作EG⊥BC于G．
∵tan∠ABC＝tan∠DCB＝
| 4 |
| 3 |
∴EG＝
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
由题意有EG∥MN，
∴
| PN |
| EG |
| BN |
| BG |
| x | ||
|
| 4.5 | ||
9−
|
∴y=
| 15x |
| x+6 |
（3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
∴∠F=∠DPF，
∵AB∥CF，
∴∠ABF=∠DPF，
∴∠MDP=∠ABC，
∵tan∠MDP=tan∠ABC=
| 3 |
| 4 |
∴
| 1.5 |
| 4−x |
| 3 |
| 4 |
∴x=2．
（Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
则DH＝EH＝
| 5−y |
| 2 |
∴∠ODC=∠DCB，
∴DO=
| DH |
| cos∠ODH |
| 5−y |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
又∵
| MO |
| MP |
| 4 |
| 3 |
∴x＝
25±
|