题目

曲线x^2+y^2+z^2-3x=0,2x-3y+5z-4=0在点1,1,1处的切线及法平面
设F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3x G(x,y,z)=2x-3y+5z-4
F'x=2x-3 F'y=2y F'z=2z n1(-1,2,2)
G'x=2 G'y=-3 G'z=5 n2(2,-3,5)
| i j k |
n= | -1 2 2 | =(16,9,-1)
| 2 -3 5 |
法平面方程：16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0
即；16x+9y-z-24=0
这我感觉是对的,但曲线某点的法平面的法向量和n1,n2的关系不理解.
设F1 = x²+y²+z²-3x
F2 = 2x-3y+5z-4
根据隐函数曲面的切向量的方程可得
(2x-3) + 2y*y'+2z*z'=0
2-3y'+5z'=0
将x=y=z=1代入可以求得y'=-7/16,z'=-1/16
所以可以设切向量为(-16,7,1)
所以法平面方程为-16(x-1) + 7(y-1) + (z-1)=0
这种做法又那错了呢?算了几次都是16：-7

提问时间：2020-10-18

答案

第一种方法是对的,其中法向量就是和向量n1,n2都垂直的向量,实际上叉乘运算不就是用来求这个的吗.另外要明确的是,对于曲线,我们可以讨论它的切线和法平面,相应的,对于曲面,我们可以讨论它的切平面和法线,因为它们都是在给定一点后唯一确定的.反之,我们是不研究曲面的切线的,因为曲面在一点的切线有无数条,所以你的第二种做法,求“曲面的切向量的方程”,一上来就是错的.