题目

已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

提问时间：2020-10-17

答案

（Ⅰ）定义域（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x＝

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
所以函数f（x）的极小值是f(

1

e

)＝−

1

e

．                
（Ⅱ）由已知得f′(x)＝lnx+

x−a

x

．
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得lnx+

x−a

x

≥0，即xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立．
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）_min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得x＝

1

e2

．
当x∈(0，

1

e2

)时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈(

1

e2

，+∞)时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是g(

1

e2

)＝−

1

e2

．
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是(−∞，−

1

e2

]．

（Ⅰ）当a=0时，可得函数f（x）的解析式，求导数，令导数为0，解出x的值，利用导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极小值；
（Ⅱ）求导函数，由于函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，转化为f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，利用导数求g（x）=xlnx+x的最小值，即可求实数a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．