题目

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，连接BE，且AE⊥BE，求证：AB=AD+BC．

提问时间：2020-10-17

答案

证明：如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAD，
∴DE=EF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，

AE=AE DE=EF

，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AED=∠AEF，AD=AF，
∵AE⊥BE，
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵EF⊥AB，CE⊥BC，
∴BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BC．

过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠AEF，全等三角形对应边相等可得AD=AF，再根据等角的余角相等求出∠BEC=∠BEF，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证．

本题考点：A:角平分线的性质 B:全等三角形的判定与性质

考点点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．