题目

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x²+y²=4相交于A、B两点，|AB|=2

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，求抛物线方程．

提问时间：2020-10-17

答案

由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为：y²=ax（a≠0）．                                （2分）
设抛物线与圆x²+y²=4的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵抛物线y²=ax（a≠0）与圆x²+y²=4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y₁|=|y₂|且|y₁|+|y₂|=2

3

，（6分）
∴|y₁|=|y₂|=

3

，代入圆x²+y²=4得x²+3=4，
∴x=±1，（8分）
∴A（±1，

3

）或A（±1，-

3

），代入抛物线方程，得：（

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）²=±a，∴a=±3．（10分）
∴所求抛物线方程是：y²=3x或y²=-3x．（12分）
注：少一种情况扣（4分）．也可分类讨论．

设抛物线方程y²=ax（a≠0），利用抛物线与圆x²+y²=4都关于x轴对称，求出A，B的坐标，利用|AB|=2

3

，即可求抛物线方程．

本题考点：圆与圆锥曲线的综合．

考点点评：本题考查抛物线与圆的位置关系，考查图形的对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．