题目

已知数列a_n满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

提问时间：2020-10-17

答案

（Ⅰ）n=1时，a₁=

1

2

∵a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

…..（1）
∴n≥2时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n=

n−1

2

…．（2）
（1）-（2）得2n−1an＝

1

2

即an＝

1

2n

又a1＝

1

2

也适合上式，∴an＝

1

2n

（Ⅱ）bn＝n•2n，∴Sn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n（3）
2Sn＝1•22+2•23+…+(n−1)•2n+n•2n+1（4）
（3）-（4）可得-S_n=1•2+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1−2n)

1−2

−n•2n+1＝2n+1−2−n•2n+1
∴Sn＝(n−1)•2n+1+2