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题目
以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连接这四个点,得四边形EFGH.

(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明);
(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=α(0°<α<90°),
①试用含α的代数式表示∠HAE;
②求证:HE=HG;
③四边形EFGH是什么四边形?并说明理由.

提问时间:2020-10-17

答案
(1)四边形EFGH的形状是正方形.
(2)①∠HAE=90°+α,
在平行四边形ABCD中AB∥CD,
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-α,
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形,
∴∠HAD=∠EAB=45°,
∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°-(180°-a)=90°+α,
答:用含α的代数式表示∠HAE是90°+α.
②证明:∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形,
∴AE=
2
2
AB,DG=
2
2
CD,
在平行四边形ABCD中,AB=CD,
∴AE=DG,
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形,
∴∠HDA=∠CDG=45°,
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE,
∵△AHD是等腰直角三角形,
∴HA=HD,
∴△HAE≌△HDG,
∴HE=HG.
③答:四边形EFGH是正方形,
理由是:由②同理可得:GH=GF,FG=FE,
∵HE=HG,
∴GH=GF=EF=HE,
∴四边形EFGH是菱形,
∵△HAE≌△HDG,
∴∠DHG=∠AHE,
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°,求出四边形是矩形,根据勾股定理求出AH=HD=
2
2
AD,DG=GC=
2
2
CD,CF=BF=
2
2
BC,AE=BE=
2
2
AB,推出EF=FG=GH=EH,根据正方形的判定推出四边形EFGH是正方形即可;
(2)①根据平行四边形的性质得出,∠BAD=180°-α,根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形,得到∠HAD=∠EAB=45°,求出∠HAE即可;
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形,得出AE=
2
2
AB,DG=
2
2
CD,平行四边形的性质得出AB=CD,求出∠HDG=90°+a=∠HAE,根据SAS证△HAE≌△HDG,根据全等三角形的性质即可得出HE=HG;
③与②证明过程类似求出GH=GF,FG=FE,推出GH=GF=EF=HE,得出菱形EFGH,证△HAE≌△HDG,求出∠AHD=90°,∠EHG=90°,即可推出结论.

正方形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;菱形的判定与性质.

本题主要考查对正方形的判定,等腰直角三角形的性质,菱形的判定和性质,全等三角形的性质和判定,平行线的性质等知识点的理解和掌握,综合运用性质进行推理是解此题的关键.

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