题目

从1到1000的整数中任取三个数
从1到1000中任取三个数,有序三组数（x,y,z）,求x^2+y^2+z^2被7整除的有序三组数（x,y,z）的组数（x,y,z可以相等）

提问时间：2020-10-17

答案

142^3+6*286^3.
任意整数x,x^2用7除余数只能是0,1,2,4,且x用7除余数为0,则x^2用7除余数也为0,x用7除余数为1,6,则x^2用7除余数为1,x用7除余数为3,4,则x^2用7除余数为2,x用7除余数为2,5,则x^2用7除余数为4,按x^2用7除所得余数将1-1000中的数分为如下4类:
用7除余0的数记为A类,用7除余1,6的数记为B类,用7除余3,4的数记为C类,用7除余2,5的数记为D类,则每类的个数如下:
A类共有[1000/7]=142,B类共有143+143=286,C类共有143+143=286,D类共有143+143=286.
x^2+y^2+z^2被7整除,则x,y,z有如下几种取法:
(1)x,y,z均取A类,共有142^3,(x,y,z每个数均有142种选择).
(2)x,y,z分别取A,B,C类,共有6*286^3(x,y,z每个数均有142种选择,另外选取的3个数任意全排列也是符号条件的选择,故乘以6),
故x^2+y^2+z^2能被7整除的有序三组数（x,y,z）的组数为
142^3+6*286^3.