题目

已知n＞1,a＞1且a的n次方—1是质数,求a的值,并说明n也是质数

提问时间：2020-10-17

答案

n,a应该都是整数吧
因为n＞1,a＞1,所以a^n-1=(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+...+1],所以a-1|a^n-1
由于a^n-1是质数,故a-1=a^n-1或1
若a-1=a^n-1,那么a=a^n,这与n＞1且a＞1矛盾!所以a-1=1即a=2
下面用反证法证明n为质数
若n不为质数,那么n为合数,设p为其一个质因数,那么n=pm(p＞1,m＞1)
则2^n-1=2^pm-1=(2^p)^m-1为质数,且2^p＞1,m＞1
由先前所证得结论：若n＞1,a＞1且a^n—1是质数,则a=2
所以2^p=2,p=1,矛盾!
于是n为质数