题目

如图，正方形ABCD中，AB=

3

，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，则△AEF的面积是______．

提问时间：2020-10-17

答案

延长EB至G，使BG=DF，连接AG，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，
∴△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE，
∵AB=BC=

3

，∠BAE=30°，
∴BE=1，CE=

3

-1，
∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE=∠AGE=75°，
∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，
∴CF=3-

3

，
∴S_△CEF=

1

2

CE•CF=2

3

-3，
∵△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADF-S_△AEB-S_△CEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF，
S_△AEF=

1

2

（S_{正方形ABCD}-S_△CEF）=3-

3

．
故答案为：3-

3

．

延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，从而求得∠EFC的度数；则S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ADF-S_△AEB-S_△CEF=S_{正方形ABCD}-S_△AEF-S_△CEF，关键求S_△CEF．

本题考点：面积及等积变换．

考点点评：本题考查了正方形的特殊性质，通过证明三角形全等，得出线段间的关系，同时考查了三角函数的运用，及组合图形的面积计算．