题目

已知椭圆O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且op与OQ垂直,求证1/op^2+1/oq^2=1/a^2+1/b^2

提问时间：2020-10-17

答案

设P（x1,y1）Q（x2,y2）
根据题意y1/x1*y2/x2=-1
即x1x2+y1y2=0
设PQ方程：y=kx+m代入椭圆b²x²+a²y²=a²b²
整理：(a²k²+b²)x²+2kma²x+a²m²-a²b²=0
韦达定理：x1+x2=-2kma²/(a²k²+b²),x1*x2=(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
x1x2+k²x1x2+km(x1+x2)+m²=0
(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)+k²(a²m²-a²b²)/(a²k²+b²)-2k²m²a²/(a²k²+b²)+m²=0
化简：(a²+b²)m²=a²b²(1+k²)
m²/(1+k²)=a²b²/(a²+b²)
｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)
点O到直线PQ的距离d=｜m｜/√(1+k²)=ab/√(a²+b²)为定值
1/OP²+1/OQ²=(OP²+OQ²)/(OP²*OQ²)=PQ²/(PQ*d)²=1/d²=1/[a²b²/(a²+b²)]
=(a²+b²)/(a²b²)=1/a²+1/b²