题目

求函数y=1/sin²α+2/cos²α的最小值
能有三种方法更好

提问时间：2020-10-17

答案

方法一：
依权方和不等式得
y＝1/sin²α+2/cos²α
＝1²/sin²α+(√2)²/cos²α
≥(1+√2)²/(sin²α+cos²α)
＝3+2√2.
∴y|min＝3+2√2.
方法二：
依柯西不等式得
(sin²α+cos²α)(1/sin²α+2/cos²α)≥(1+√2)²
→1/sin²α+2/cos²α≥3+2√2.
∴y|min＝3+2√2.
方法三：
用基本不等式
设a＝sin²α,b＝cos²α,则a+b＝1.
∴y＝(1/a+2/b)·1
＝(a+b)(1/a+2/b)
＝3+(2a/b+b/a)
≥3+2√[(2a/b)·(b/a)]
＝3+2√2.
∴y|min＝3+2√2.