题目

求大大帮忙解一条关于矩阵N次幂的题,要详细方法,题在补充里
x .1 ..1
0 x...1
...这矩阵是n*n的方阵,求其n次幂
...
...
0 0...x

提问时间：2020-10-17

答案

令J是0对应的n阶Jordan块,即
J=
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
那么题目里的矩阵就是
A=(x-1)I+(I-J)^{-1}
用二项式定理可得
A^n = sum_{k=0..n} C_n^k (x-1)^{n-k}(I-J)^{-k}
用Taylor公式展开(I-J)^{-k},并注意J^n=0得
(I-J)^{-k} = sum_{s=0..n} C_{s+k}^s J^s
交换一下求和次序得到
A^n = sum_{k=0..n} sum_{s=0..n} C_n^k C_{s+k}^s (x-1)^{n-k}J^s
= sum_{s=0..n} [sum_{k=0..n} C_n^k C_{s+k}^s (x-1)^{n-k}] J^s
J^s项的系数就是A^n的第s条对角线的元素大小
大致是这个方法,如果计算有问题的话你自己修正