题目
在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足∠EAF=
∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足______时,可使得DE+BF=EF.
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提问时间:2020-10-17
答案
当∠ABC+∠D=180°时,DE+BF=EF.理由如下:
在CB的延长线上取一点G,使BG=DE,连接AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABG=180°,
∴∠ABG=∠D.
在△ABG与△ADE中,
,
∴△ABG≌△ADE(SAS),
∴∠BAG=∠DAE,AG=AE,
∴∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠DAB-∠EAF=∠DAB-
∠DAB=
∠DAB,
∴∠GAF=∠EAF.
在△AGF与△AEF中,
,
∴△AGF≌△AEF(SAS),
∴GF=EF.
∵GB+BF=GF,
∴DE+BF=EF.
故答案为∠ABC+∠D=180°.
在CB的延长线上取一点G,使BG=DE,连接AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABG=180°,
∴∠ABG=∠D.
在△ABG与△ADE中,
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∴△ABG≌△ADE(SAS),
∴∠BAG=∠DAE,AG=AE,
∴∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠DAB-∠EAF=∠DAB-
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∴∠GAF=∠EAF.
在△AGF与△AEF中,
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∴△AGF≌△AEF(SAS),
∴GF=EF.
∵GB+BF=GF,
∴DE+BF=EF.
故答案为∠ABC+∠D=180°.
在CB的延长线上取一点G,使BG=DE,由于∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABG=180°,可以得到∠ABG=∠D,再利用SAS证明△ABG≌△ADE,由此可以推出∠BAG=∠DAE,AG=AE,而∠EAF=
∠DAB,所以得到∠EAF=∠GAF,再利用SAS证明△AEF≌△AGF,然后根据全等三角形的性质就可以证明DE+BF=EF.
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旋转的性质;全等三角形的判定与性质.
此题主要考查了全等三角形的判定及性质,根据题意作出与已知相等的线段,利用三角形全等是解决问题的关键.
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