题目

已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，PA⊥PB，且PA=PB，PM⊥BC于M，若CA=1，PM=4．求CB的长．

提问时间：2020-10-17

答案

此题分以下两种情况：
①如图1，过P作PN⊥CA于N，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵∠NPM=90°，
∴∠NPA=∠BPM，
在△PMB和△PNA中，

∠N＝∠BMP ∠NPA＝∠BPM PA＝PB

，
∴△PMB≌△PNA，
∴PM=PN=4=CM，BM=AN=3，
∴BC=7；
②如图2，过P作PN⊥CA于N，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵∠NPM=90°，
∴∠NPA=∠BPM，
在△PMB和△PNA中，

∠N＝∠BMP ∠NPA＝∠BPM PA＝PB

，
∴△PMB≌△PNA，
∴PM=PN=4=CM，BM=AN=5，
可得BC=9．
综合上述CB=7或9．

根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，进而分类讨论得出答案即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理得出是解题关键．