题目

对于a b c 三个数用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用min{a,b,c}表示这三个数中的最小的数

提问时间：2020-10-17

答案

（2008•镇江）阅读以下材料：
对于三个数a、b、c,用M（a,b,c）表示这三个数的平均数,用min（a,b,c）表示这三个数中最小的数．例如：M{-1,2,3}=
-1+2+3
3
=
4
3
；min{-1,2,3}=-1；min{-1,2,a}=a（a≤-1）；-1（a＞-1）
解决下列问题：
（1）填空：min{sin30°,cos45°,tan30°}=,如果min{2,2x+2,4-2x}=2,则x的取值范围为≤x≤；
（2）①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x．
②根据①,你发现了结论“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么（填a,b,c的大小关系）”,
证明你发现的结论．
③运用②的结论,填空：若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y},则x+y=；
（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1,y=（x+1）2,y=2-x的图象（不需列表描点）,通过观察图象,填空：min{x+1,（x-1）2,2-x}的最大值为．
考点：二次函数的图象；解一元一次方程；一元一次不等式组的应用；一次函数的图象；特殊角的三角函数值．
专题：阅读型．
分析：（1）因为用min（a,b,c）表示这三个数中最小的数．分别计算sin30°,cos45°,tan30°的值,因为sin30°最小,所以min{sin30°,cos45°,tan30°}=sin30度；
（2）结合题意,分情况讨论,将实际问题与数学思想联系起来,读懂题列出算式或一元一次不等式组即可求解；
（3）作出正确的图象,是解题的关键．
（1）min{sin30°,cos45°,tan30°}=
1
2
,
如果min{2,2x+2,4-2x}=2,则x的取值范围为0≤x≤1；
（2）①∵M{2,x+1,2x}=
2+x+1+2x
3
=x+1．
法一：∵2x-（x+1）=x-1．当x≥1时,
则min{2,x+1,2x}=2,则x+1=2,
∴x=1．当x＜1时,
则min{2,x+1,2x}=2x,则x+1=2x,
∴x=1（舍去）．
综上所述：x=1．
法二：∵M{2,x+1,2x}=
2+x+1+2x
3
=x+1=min{2,x+1,2x},
∴
2≥x+1
2x≥x+1
∴
x≤1
x≥1
∴x=1．
②a=b=c．
证明：∵M{{a,b,c}}=
a+b+c
3
,如果min{a,b,c}=c,则a≥c,b≥c．则有
a+b+c
3
=c,
即a+b-2c=0．
∴（a-c）+（b-c）=0．
又a-c≥0,b-c≥0．
∴a-c=0且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情况同理可证,故a=b=c．
③-4；
（3）作出图象．
最大值是1．