题目

已知入射光线方向向量（m1,n1,l1）,与反射面交点坐标为（x,y,z）,如何求反射光线方向向量（m2,n2,l2）?
反射面为抛物面x^2+y^2=4*f*z.m1,n1,l1,x,y,z都可以认为是已知的.最好能得到m2,n2,l2的表达式,或者能否把方程组列出?

提问时间：2020-10-17

答案

x^2+y^2=4*f*z,
记抛物面方程为z=z(x,y),
p=dz/dx,q=dz/dy,
在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为Z-z0=p0(X-x0)+q0(Y-y0),
法向量为(p0,q0,-1)
法线方程为(X-x0)/p0=(Y-y0)/q0=(Z-z0)/(-1)
入射光线方程为(X-x)/m1=(Y-y)/n1=(Z-z)/l1
其中p0=dz/dx|(x0,y0),q0=dz/dy|(x0,y0),
在入射光线上取一点(x1,y1,z1),设其关于法线的对称点为(x2,y2,z2).
点(x1,y1,z1)与点(x2,y2,z2)连线段的中点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2)在法线上,
代入得
[(x1+x2)/2-x0]/p0=[(y1+y2)/2-y0]/q0=[(z1+z2)/2-z0]/(-1)(=t) .(1)
点(x1,y1,z1)与点(x2,y2,z2)连线垂直法线,向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)与法向量(p0,q0,-1)数量积=0,
(x1-x2)p0+(y1-y2)q0+(z1-z2)(-1)=0.(2).
由(1)(2)解出点坐标(x2,y2,z2),
反射光线方向向量为(m2,n2,l2)=(x-x2,y-y2,z-z2)