题目

如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合）
已知AC＝8cm,BC＝6cm,∠C＝90°,EG＝4cm,∠EGF＝90°,O 是△EFG斜边上的中点．
如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移,在△EFG 平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s）,FG的延长线交 AC于H,四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时,OP‖AC
（2）求y与x 之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24?若存在,求出x的值；若不存在,说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996,1152 ＝13225,1162 ＝13456或4.42 ＝19.36,4.52 ＝20.25,4.62 ＝21.16）

提问时间：2020-10-17

答案

（1）∵RtΔEFG∽RtΔABC,
∴ .
∴ .
∵当P为FG的中点时,OP//EG,EG//AC,
∴OP//AC.
∴ .
∴当x为1.5s时,OP//AC.
（2）在RtΔEFG中,由勾股定理得：EF=5cm.
∵EG//AH,
∴ΔEFG∽ΔAFH.
∴ .
∴ .
∴ .
过点O作OD⊥FP,垂足为D.
∵点O为EF中点,
∴ .
∵ ,
∴
（3）假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13：24.
则
∵0<x<3,
∴当 时,四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13：24.
五、矩形运动
例5.（2006南安）如图所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A—B—C—D的路线作匀速运动.当P点运动到D点时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动.
（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点运动时间为t（秒）.
①当t=5时,求出点P的坐标；
②若ΔOAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）.
（1）P点从A点运动到D点所需的时间= （秒）
（2）①当t=5时,P点从A点运动到BC上,
此时OA=10,AB＋BP=5,
∴BP=2
过点P作PE⊥AD于点E,
则PE=AB=3,AE=BP=3
∴
∴点P的坐标为（12,3）.
②分三种情况：
（i）当 时,点P在AB上运动,
此时OA=2t,AP=t
（ii）当 时,点P在AB上运动,此时OA=2t
∴
（iii）当8<t<11时,点P在CD上运动,
此时OA=2t,
∴
综上所述,s与t之间的函数关系式是：当 时,；当 时,s=3t；当8<t<11时,