题目
已知2的x分之一次方>x的a次方对任意x属于(0,2)成立,求实数a的取值范围
2楼.是的
2楼.是的
提问时间:2020-10-17
答案
2^x=e^(x*ln2)
x^a=e^(a*lnx)
由于e^x是单调递增函数,原问题可以转化为x*ln2>a*lnx在x属于(0,2)恒成立
当a=0时,显然成立;
当a≠0时,x=1时,ln2>0恒成立
对于x属于(0,1),a>x/lnx*ln2,记f(x)=x/lnx,f′(x)=(lnx-1)/ln²x﹤0
所以f(x)是单调减函数,a>f(0+)*ln2=0,得到a>0
对于x属于(1,2),a<x/lnx*ln2,f′(x)=(lnx-1)/ln²x<0,
所以f(x)是单调减函数,a≤f(2)*ln2=2,所以有a≤2
综上所得0≤a≤2
x^a=e^(a*lnx)
由于e^x是单调递增函数,原问题可以转化为x*ln2>a*lnx在x属于(0,2)恒成立
当a=0时,显然成立;
当a≠0时,x=1时,ln2>0恒成立
对于x属于(0,1),a>x/lnx*ln2,记f(x)=x/lnx,f′(x)=(lnx-1)/ln²x﹤0
所以f(x)是单调减函数,a>f(0+)*ln2=0,得到a>0
对于x属于(1,2),a<x/lnx*ln2,f′(x)=(lnx-1)/ln²x<0,
所以f(x)是单调减函数,a≤f(2)*ln2=2,所以有a≤2
综上所得0≤a≤2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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