题目

已知向量

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值及最小值．

提问时间：2020-10-16

答案

（1）∵f（x）=a•b．∴f（x）=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin(2x+π4)，∴最小正周期T=π，由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)，故函数f（x）的单调增区间是[kπ−3π8...

（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，利用正弦函数的周期公式、单调性即可得出；
（2）当x∈[−

π

4

，

π

4

]时，可得(2x+

π

4

)∈[−

π

4

，

3π

4

]，再利用正弦函数的单调性即可得出．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的周期公式、单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．