题目

已知圆C：(X-1)²+（y-2）²=25直线（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0,
求证直线与圆相交
求直线被圆所截的最短弦长时直线的方程和最短弦长

提问时间：2020-10-16

答案

1）由（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
令 2x+y-7=0,x+y-4=0,解得 x=3,y=1
所以,直线 （2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 恒过定点 P（3,1）.
由于 (3-1)^2+(1-2)^2=5<25,所以,点P在圆内,
因此,直线与圆恒有两个交点.
2）圆心（1,2）,半径 r=5
直线被圆所截的弦最短,则圆心到直线的距离最长.
由于 d<=CP=√[(3-1)^2+(1-2)^2]=√5,
所以,直线被圆所截的弦最短时,圆心到直线的距离 d=√5,
此时 CP丄L,
由于 kCP=(1-2)/(3-1)=-1/2,
所以 kL=2,故方程为 y-1=2(x-3) 即 2x-y-5=0,
并且 最短弦长=√（r^2-d^2)=√(25-5)=2√5.