题目

已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an),n∈N*.
求数列{an}的通项公式
设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-···+（-1）n-1 ana(n+1) 若Tn≥tn²对n属于N*恒成立,求t的范围

提问时间：2020-10-16

答案

f(x)=(2x+3)/3x化简：=2/3+1/x
所以an+1=f(1/an)=2/3+an,为d=2/3的等差数列.
所以an=1+2(n-1)/3.
这是第一问.
第二问：
Tn=a1a2-a2a3+a3a4-···+（-1）n-1 ana(n+1)
=1*5/3-5/3*7/3+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)/3*(3+2n)/3
=1/9*(3*5-5*7+……+(-1)^(n-1)*(1+2n)*(3+2n))
当n为偶数时,Tn<0.这是因为把括号里按顺序每两项划为一组,则每一组都是负的,总和也是负的.
当n位奇数时,Tn>0.把括号里第一项3*5拿掉不看,剩下的每两项划为一组,则每一组都是正的,总和也是正的.再加上3*5还是正的.
题目说Tn≥tn²,则t一定是负的,并且只要考虑n为偶数就行了（因为n为奇数恒成立）.
设n=2m,（n为偶数）
Tn
=1/9*(3*5-5*7+7*9-9*11+……-(1+4m)*(3+4m))
每两个为一组,
=-1/9*(5*4+9*4+……+(1+4m)*4)
按等差数列求和,
=-4/9*(5+1+4m)*m/2
=-4/9*(3+2m)*m
=(-8/9)m^2-(4/3)m
由于n=2m带入：
Tn=-(2/9)n^2-(2/3)n
由于要Tn≥tn²,带进去：
-(2/9)n^2-(2/3)n>=tn^2对任何n>=1都成立,
即-(2/9)n^2-(2/3)n=1的解.
用判别式解出t（很麻烦,但是我没找到更好的办法）
得出t<=-8/9