题目
已知:如图,在矩形ABCD中,点E在AD边上,AE>DE,BE=BC,点O是线段CE的中点.
(1)试说明CE平分∠BED;
(2)若AB=3,BC=5,求BO的长;
(3)在直线AD上是否存在点F,使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形?如果存在,试画出点F的位置,并作适当说明;如果不存在,请说明理由.
(1)试说明CE平分∠BED;
(2)若AB=3,BC=5,求BO的长;
(3)在直线AD上是否存在点F,使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形?如果存在,试画出点F的位置,并作适当说明;如果不存在,请说明理由.
提问时间:2020-10-16
答案
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠BCE=∠DEC,(1分)
又∵BE=BC,∴∠BCE=∠BEC.(2分)
∴∠BEC=∠DEC,
∴CE平分∠BED.(3分)
(2)在Rt△BAE中,AB=3,BE=BC=5,
∴AE=4,(4分)
在Rt△CDE中,CD=3,DE=1,
∴EC=
,(5分)
在Rt△BOC中,BC=5,CO=
,
∴BO=
=
=
,(6分)
(注:此处用等面积法求BO亦可,此处写
,不扣分)
(3)在直线AD上存在点F,使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形.
延长ED至F,使得EF=BC,此时四边形BCFE是菱形.(7分)
∵AE>DE,∴BE>CE,
因此在EA的延长线上不存在点F,使得四边形BCEF为菱形.(8分)
∴AD∥BC,
∴∠BCE=∠DEC,(1分)
又∵BE=BC,∴∠BCE=∠BEC.(2分)
∴∠BEC=∠DEC,
∴CE平分∠BED.(3分)
(2)在Rt△BAE中,AB=3,BE=BC=5,
∴AE=4,(4分)
在Rt△CDE中,CD=3,DE=1,
∴EC=
10 |
在Rt△BOC中,BC=5,CO=
| ||
2 |
∴BO=
BC2-CO2 |
52-(
|
3
| ||
2 |
(注:此处用等面积法求BO亦可,此处写
| ||
2 |
(3)在直线AD上存在点F,使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形.
延长ED至F,使得EF=BC,此时四边形BCFE是菱形.(7分)
∵AE>DE,∴BE>CE,
因此在EA的延长线上不存在点F,使得四边形BCEF为菱形.(8分)
(1)根据矩形的性质AD∥BC,所以∠BCE=∠DEC,再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可;
(2)利用勾股定理先求出AE、EC的长,在△BCO中根据勾股定理即可求出BO;
(3)因为邻边BE、BC相等,所以只要作出的是平行四边形就可以,在ED延长线上可以,而在EA的延长线上不能作出以BC、BE为邻边的平行四边形.
(2)利用勾股定理先求出AE、EC的长,在△BCO中根据勾股定理即可求出BO;
(3)因为邻边BE、BC相等,所以只要作出的是平行四边形就可以,在ED延长线上可以,而在EA的延长线上不能作出以BC、BE为邻边的平行四边形.
矩形的性质;勾股定理;菱形的判定.
本题主要利用矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理,熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
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