题目

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=2，且f（x）在R上的导数f′（x）＜1，则不等式f（2x）＜2x+1的解集为 ___ ．

提问时间：2020-10-16

答案

解∵f（1）=2
∴f（1）-1=1
∵f'（x）＜1
∴（f（x）-x）′＜0，令g（x）=f（x）-x，则g（x）为R上的减函数
∵不等式f（2x）＜2x+1⇔f（2x）-2x＜1⇔f（2x）-2x＜f（1）-1⇔g（2x）＜g（1）⇔2x＞1⇔x＞

1

2

故答案为  x＞

1

2

先由f'（x）＜1，知函数g（x）=f（x）-x为R上的减函数，再将f（1）=2化为g（1）=1，将所解不等式化为g（2x）＜g（1），最后利用单调性解不等式即可

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了导数在解决函数单调性问题时的应用，解题时要认真观察，发现规律，构造函数解题，有一定难度